optimizacion costo del agua

Formulación Matemática del Problema de Optimización de Recursos Hídricos

Minimización de la diferencia de costo unitario entre usuarios urbanos y agrícolas sujeto a restricciones de disponibilidad

1. Descripción del Problema

Se dispone de un sistema de abastecimiento de agua con múltiples fuentes de diferente calidad y costo de tratamiento. El objetivo es asignar proporcionalmente estas fuentes a dos usuarios (ciudad y agricultura) de manera que se minimice la diferencia en el costo unitario del agua entregada, respetando las restricciones físicas de disponibilidad de cada fuente.

2. Conjuntos e Índices

Conjuntos:

• $\mathcal{F} = \{1, 2, 3, 4\}$: Conjunto de fuentes de agua, donde:
  • $f = 1$: Agua de mar (desalinización)
  • $f = 2$: Agua salobre (tratamiento)
  • $f = 3$: Sondaje (extracción subterránea)
  • $f = 4$: Reuso (agua reciclada)
• $\mathcal{U} = \{c, a\}$: Conjunto de usuarios, donde:
  • $u = c$: Usuario urbano (ciudad)
  • $u = a$: Usuario agrícola (agricultura)

3. Parámetros

Símbolo	Descripción	Unidades
$c_f$	Costo de tratamiento de la fuente $f$	M$/m³
$Q_u$	Caudal total requerido por el usuario $u$	l/s
$V_u$	Volumen total requerido por el usuario $u$ en el período	m³
$D_f$	Disponibilidad máxima de la fuente $f$	l/s
$T$	Duración del período de análisis	días
$\alpha$	Factor de conversión: $\alpha = 86.4 \times T$	m³/(l/s)

Nota: La relación entre caudal y volumen es $V_u = Q_u \cdot \alpha$, donde $\alpha = 86.4 \cdot T$ convierte l/s a m³ en el período $T$.

4. Variables de Decisión

Variables de decisión:

$x_{u,f} \in [0, 100] \quad \forall u \in \mathcal{U}, \forall f \in \mathcal{F}$

donde $x_{u,f}$ representa el porcentaje del caudal del usuario $u$ que se abastece desde la fuente $f$.

5. Variables Auxiliares

El volumen asignado del usuario $u$ desde la fuente $f$:

$$v_{u,f} = \frac{x_{u,f}}{100} \cdot V_u \quad \forall u \in \mathcal{U}, \forall f \in \mathcal{F}$$

El costo total del usuario $u$:

$$C_u = \sum_{f \in \mathcal{F}} v_{u,f} \cdot c_f = \sum_{f \in \mathcal{F}} \frac{x_{u,f}}{100} \cdot V_u \cdot c_f \quad \forall u \in \mathcal{U}$$

El costo unitario (por m³) del usuario $u$:

$$\bar{c}_u = \frac{C_u}{V_u} = \sum_{f \in \mathcal{F}} \frac{x_{u,f}}{100} \cdot c_f \quad \forall u \in \mathcal{U}$$

Observación importante: El costo unitario $\bar{c}_u$ es independiente del volumen $V_u$ y depende únicamente de la mezcla de fuentes (porcentajes $x_{u,f}$) y sus costos $c_f$.

6. Función Objetivo

Minimizar la diferencia relativa absoluta entre los costos unitarios de ambos usuarios:

$$\min_{x} \quad Z = \frac{|\bar{c}_c - \bar{c}_a|}{\max(\bar{c}_c, \bar{c}_a)} \times 100$$

Equivalentemente, minimizando la diferencia absoluta:

$$\min_{x} \quad Z = |\bar{c}_c - \bar{c}_a| = \left|\sum_{f \in \mathcal{F}} \frac{x_{c,f}}{100} \cdot c_f - \sum_{f \in \mathcal{F}} \frac{x_{a,f}}{100} \cdot c_f\right|$$

7. Restricciones

7.1 Restricciones de Completitud (suma de porcentajes)

Para cada usuario, los porcentajes de todas las fuentes deben sumar 100%:

$$\sum_{f \in \mathcal{F}} x_{u,f} = 100 \quad \forall u \in \mathcal{U}$$

Explícitamente:

$$x_{c,1} + x_{c,2} + x_{c,3} + x_{c,4} = 100$$ $$x_{a,1} + x_{a,2} + x_{a,3} + x_{a,4} = 100$$

7.2 Restricciones de Disponibilidad de Fuentes

El volumen total extraído de cada fuente no puede exceder su disponibilidad:

$$\sum_{u \in \mathcal{U}} v_{u,f} \leq D_f \cdot \alpha \quad \forall f \in \mathcal{F}$$

Reemplazando $v_{u,f}$:

$$\sum_{u \in \mathcal{U}} \frac{x_{u,f}}{100} \cdot V_u \leq D_f \cdot \alpha \quad \forall f \in \mathcal{F}$$

Explícitamente para cada fuente:

$$\frac{x_{c,1}}{100} \cdot V_c + \frac{x_{a,1}}{100} \cdot V_a \leq D_1 \cdot \alpha \quad \text{(Agua de mar)}$$ $$\frac{x_{c,2}}{100} \cdot V_c + \frac{x_{a,2}}{100} \cdot V_a \leq D_2 \cdot \alpha \quad \text{(Agua salobre)}$$ $$\frac{x_{c,3}}{100} \cdot V_c + \frac{x_{a,3}}{100} \cdot V_a \leq D_3 \cdot \alpha \quad \text{(Sondaje)}$$ $$\frac{x_{c,4}}{100} \cdot V_c + \frac{x_{a,4}}{100} \cdot V_a \leq D_4 \cdot \alpha \quad \text{(Reuso)}$$

7.3 Restricciones de No Negatividad y Acotamiento

$$0 \leq x_{u,f} \leq 100 \quad \forall u \in \mathcal{U}, \forall f \in \mathcal{F}$$

8. Formulación Completa del Problema

Problema de Optimización (P)

Minimizar:

$$Z = \left|\sum_{f=1}^{4} \frac{x_{c,f}}{100} \cdot c_f - \sum_{f=1}^{4} \frac{x_{a,f}}{100} \cdot c_f\right|$$

Sujeto a:

$$\sum_{f=1}^{4} x_{c,f} = 100$$

$$\sum_{f=1}^{4} x_{a,f} = 100$$

$$\frac{V_c}{100} \cdot x_{c,f} + \frac{V_a}{100} \cdot x_{a,f} \leq D_f \cdot \alpha, \quad \forall f \in \{1,2,3,4\}$$

$$0 \leq x_{u,f} \leq 100, \quad \forall u \in \{c,a\}, \forall f \in \{1,2,3,4\}$$

9. Linealización de la Función Objetivo

La función objetivo contiene un valor absoluto, lo que hace el problema no lineal. Se puede linealizar introduciendo una variable auxiliar $t \geq 0$:

Problema Linealizado (P-LP)

Minimizar:

$$Z = t$$

Sujeto a:

$$\sum_{f=1}^{4} \frac{c_f}{100} \cdot x_{c,f} - \sum_{f=1}^{4} \frac{c_f}{100} \cdot x_{a,f} \leq t$$

$$-\sum_{f=1}^{4} \frac{c_f}{100} \cdot x_{c,f} + \sum_{f=1}^{4} \frac{c_f}{100} \cdot x_{a,f} \leq t$$

Más las restricciones originales de completitud, disponibilidad y acotamiento.

10. Análisis de la Solución Óptima

Propiedad fundamental: Si ambos usuarios tienen la misma mezcla de fuentes ($x_{c,f} = x_{a,f}$ para todo $f$), entonces $\bar{c}_c = \bar{c}_a$ y la diferencia es cero. Sin embargo, esta solución puede no ser factible si viola las restricciones de disponibilidad.

El problema busca la combinación de porcentajes que:

1. Minimice la diferencia de costos unitarios entre usuarios
2. Respete la disponibilidad física de cada fuente
3. Asigne el 100% del caudal de cada usuario

11. Método de Solución

El problema se resuelve mediante:

1. Búsqueda exhaustiva: Discretización del espacio de soluciones en incrementos de $\Delta = 5\%$
2. Mejora iterativa local: Ajustes de $\pm 1\%$ y $\pm 2\%$ partiendo de una solución inicial
3. Verificación de factibilidad: Validación de todas las restricciones en cada iteración

$$\text{Espacio de búsqueda: } \left(\frac{100}{\Delta} + 1\right)^{2 \times 4} = \left(\frac{100}{5} + 1\right)^8 = 21^8 \approx 3.78 \times 10^{10} \text{ combinaciones}$$

Con restricciones de completitud, el espacio se reduce significativamente a combinaciones válidas.

12. Interpretación Económica

La solución óptima representa una asignación eficiente de recursos hídricos que:

• Equidad tarifaria: Ambos usuarios pagan el mismo precio por m³ de agua
• Sostenibilidad: No se sobreexplota ninguna fuente
• Eficiencia económica: Se minimiza la distorsión en los costos de producción

Formulación matemática del problema de optimización de recursos hídricos

Programa de asignación óptima de fuentes de agua para usuarios urbanos y agrícolas